问为什么正交矩阵的特征值是正1或1

【为什么正交矩阵的特征值是正1或1】正交矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型，它在几何变换、信号处理和数值计算等领域有着广泛的应用。正交矩阵的一个重要性质是其特征值只能是±1，这一特性源于正交矩阵的定义及其数学结构。本文将通过总结的方式，并结合表格形式，对这一问题进行详细说明。

一、正交矩阵的基本定义

一个实矩阵 $ Q $ 被称为正交矩阵，如果满足以下条件：

$$

Q^T Q = I

$$

其中 $ Q^T $ 是 $ Q $ 的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵。这意味着正交矩阵的列（或行）向量是标准正交的。

二、正交矩阵的特征值性质

设 $ \lambda $ 是正交矩阵 $ Q $ 的一个特征值，对应的特征向量为 $ v $，即：

$$

Qv = \lambda v

$$

我们可以通过以下步骤推导出特征值的可能取值。

1. 利用正交矩阵的性质

由于 $ Q $ 是正交矩阵，有：

$$

Q^T Q = I \Rightarrow Q^{-1} = Q^T

$$

因此，对于任意向量 $ v $，有：

$$

\Qv\ = \v\

$$

也就是说，正交矩阵不会改变向量的长度。

2. 应用特征方程

由 $ Qv = \lambda v $，两边同时左乘 $ Q^T $ 得：

$$

Q^T Qv = Q^T (\lambda v) \Rightarrow Iv = \lambda Q^T v \Rightarrow v = \lambda Q^T v

$$

再两边左乘 $ v^T $ 得：

$$

v^T v = \lambda v^T Q^T v = \lambda (Qv)^T v = \lambda ( \lambda v )^T v = \lambda^2 v^T v

$$

即：

$$

\v\^2 = \lambda^2 \v\^2

$$

若 $ v \neq 0 $，则两边除以 $ \v\^2 $，得到：

$$

1 = \lambda^2 \Rightarrow \lambda = \pm 1

$$

三、结论总结

综上所述，正交矩阵的特征值只能是 ±1，这是由正交矩阵的定义和其保持向量长度不变的性质决定的。

四、关键点总结表

五、补充说明

需要注意的是，虽然正交矩阵的特征值只能是 ±1，但它们不一定都是实数。在复数域中，正交矩阵的特征值也可能出现在单位圆上，但在实数域中，所有特征值都必须为 ±1。

此外，正交矩阵的特征向量之间也具有正交性，这使得正交矩阵在谱分解中具有良好的性质。

结语：

正交矩阵的特征值只能是 ±1，这一特性是其数学本质的体现，理解这一点有助于更好地掌握正交矩阵在各种应用中的行为与性质。